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 Numéro 28, Mars-Avril 1999 
Abolissons les formules avec SERVO Version Imprimable  Version imprimable


Jean VALLIÈRES  (Collège Lionel-Groulx)

Dans toutes les matières se rapportant aux sciences et techniques physiques, on doit souvent utiliser des équations mathématiques pour décrire des phénomènes et solutionner des problèmes. Les professeurs qui enseignent ces matières se plaignent souvent de la difficulté de faire comprendre ces équations à leurs élèves et de convaincre ces derniers que ce ne sont pas des recettes ou des formules à apprendre par coeur pour ensuite les appliquer bêtement, souvent hors contexte. Avec l'arrivée des ordinateurs dans les salles de cours, plusieurs ont tenté des approches plus stimulantes avec leurs élèves : solutions de problèmes avec des logiciels de construction de graphiques, avec des chiffriers comme Excel, etc.


La solution par diagramme fonctionnel

En programmant le logiciel SERVO pour répondre à des besoins spécifiques en techniques du génie électrique et en contrôle de procédés, j'ai découvert que l'approche de solution de problèmes utilisée dans ce logiciel pourrait aussi s'appliquer avantageusement dans de nombreux autres domaines, par exemple en chimie et en physique. SERVO est d'abord un logiciel de modélisation de systèmes, de procédés ou de phénomènes, qui utilise une représentation qui se nomme diagramme fonctionnel pour modéliser puis solutionner ces système (voir la figure 1).

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Figure 1

L'avantage du diagramme fonctionnel sur les systèmes d'équations est qu'il permet de diviser l'objet étudié en éléments simples et faciles à comprendre. On place les fonctions de chacun de ces éléments dans des boîtes individuelles autonomes appelées modules. Il reste à ajouter des raccords fléchés entre les boîtes pour montrer les interactions entre les fonctions de ces éléments simples. Pas besoin d'aller plus loin. Le système ou le phénomène étudié est décrit et modélisé complètement de cette façon et peut être solutionné immédiatement à l'aide d'un ordinateur.

Pour résoudre un problème, la démarche se divise en deux étapes. Il faut d'abord rechercher les composantes élémentaires de l'objet étudié et formuler les fonctions simples de ces composantes. Ensuite, on définit les interactions entre ces fonctions élémentaires. À mon avis, c'est un type de démarche très approprié à enseigner aux élèves dans un monde où la complexité augmente et où l'on parle de plus en plus d'interactions, d'écosystèmes, etc.

Le logiciel SERVO fournit un grand nombre de types de modules pour décrire toutes les fonctions de base qui peuvent s'appliquer dans différents domaines. Il y a par exemple le groupe des modules mathématiques qui comprend la plupart des fonctions qu'on retrouve sur une calculatrice scientifique ainsi que les fonctions permettant de faire du calcul intégral et différentiel. Il y a ensuite plusieurs groupes de modules plus spécialisés pour des applications en techniques physiques. On y retrouve le groupe des modules de filtres électroniques, le groupe des modules contrôleurs PID, le groupe des modules non linéaires (fonctions de saturation, de zone morte, etc.), le groupe des modules convertisseurs (oscillateur contrôlé, comparateur de phase, etc.). Il existe même un groupe de modules de logique floue permettant d'expérimenter cette nouvelle technologie.

Après avoir choisi un module qui correspond à une fonction de base désirée, il suffit de double-cliquer sur ce module pour y entrer les paramètres de la fonction. Par exemple, on pourrait choisir le module sinus qui donne la fonction Y = A sin(K X), où X est la variable d'entrée, Y la variable résultante de sortie, et où A et K sont des constantes. Des zones d'édition permettent de saisir les valeurs des constantes A et K pour définir la fonction. Il faut aussi indiquer les unités de chacune des constantes et des variables. La dernière version de SERVO supporte le calcul des unités et donne un message approprié si l'utilisateur fait une erreur en entrant par exemple des unités incompatibles. Ceci permet de favoriser l'apprentissage des unités, une autre bête noire dans l'enseignement des matières qui utilisent les mathématiques. La boîte de dialogue d'un module peut être plus ou moins complexe selon la fonction choisie. Par exemple, la figure 2 montre un des volets de la boîte de dialogue d'un module de logique floue.

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Figure 2


Les outils d'analyse

Le logiciel fournit trois appareils virtuels pour analyser et solutionner les systèmes et les problèmes qu'on veut modéliser. Ces appareils sont l'oscillographe, l'analyseur dans le domaine des fréquences et l'analyseur spectral.

Pour un technicien en électronique, on pourrait dire que l'oscillographe représente un oscilloscope à mémoire à quatre canaux. Pour tout autre utilisateur, c'est simplement un appareil qui permet de voir simultanément l'évolution des courbes graphiques de quatre variables. On sélectionne une variable en faisant un lien avec la souris entre la sortie du module qui la fournit et une des quatre entrées de l'oscillographe. On peut modifier les échelles verticales et horizontales des graphiques. Une fois les courbes obtenues, un curseur permet de prendre des mesures des valeurs des variables au temps voulu. C'est une façon simple de résoudre un problème (voir la figure 3).

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Figure 3

L'analyseur dans le domaine des fréquences compare deux signaux périodiques A et B. Il donne le gain (le rapport de l'amplitude de B sur celle de A) et le déphasage de B par rapport à A en fonction de la fréquence. Le graphique obtenu est un diagramme de Bode. Un curseur permet de mesurer le gain et le déphasage à n'importe quelle fréquence. L'appareil donne aussi un graphique polaire du gain en fonction du déphasage nommé diagramme de Nyquist. Dans la nouvelle version de SERVO, l'analyseur fonctionne avec des systèmes aussi bien non linéaires que linéaires. Cela permet d'analyser des phénomènes où il y a par exemple de la saturation ainsi que des procédés modélisés avec des modules de fonctions non linéaires comme les modules de logique floue.

L'analyseur spectral fournit des graphiques et des tableaux des composantes sinusoïdales des variables ou des signaux analysés. On peut obtenir l'amplitude et la phase de chacune des composantes. On a accès à un spectre des intensités ou à un spectre de puissance. À partir des résultats de cet appareil, il est possible de reconstituer n'importe quel signal en faisant la somme de ses composantes sinusoïdales, avec plusieurs modules sinus par exemple. Cet appareil trouve beaucoup d'applications dans le domaine de l'analyse des signaux et en télécommunications.


Les domaines d'applications

En mathématiques et en sciences pures, plusieurs enseignants utilisent des chiffriers comme Excel ou Quattro pour solutionner certains problèmes. Ils mettent les formules dans les cellules du chiffrier et font des liens en utilisant les références aux cellules (ex. : A2, F5, ...). Avec SERVO, les cellules sont remplacées par les modules des fonctions choisies et les références sont remplacées par les raccords qu'on fait avec la souris entre ces modules. Le diagramme fonctionnel ainsi obtenu montre plus clairement les éléments de la fonction du problème et les liens entre ces éléments qu'un paquet de cellules sur un chiffrier. Si l'on ajoute l'oscillographe qui permet d'imprimer des tableaux et de voir des graphiques de variables en fonction du temps, on peut conclure que le logiciel SERVO pourrait avantageusement remplacer un chiffrier dans plusieurs cas.

En chimie, le diagramme fonctionnel se prête très bien à la solution d'un problème de variation des concentrations des composants en fonction du temps lors d'une réaction chimique. En mathématiques, on peut se servir de SERVO pour modéliser et solutionner des équations différentielles. Avec l'analyseur spectral, on peut s'en servir aussi pour analyser (trouver les composantes sinusoïdales) puis synthétiser n'importe quelle fonction périodique. En physique, on peut modéliser, simuler et solutionner des problèmes de mouvement harmonique. On peut même y ajouter de la friction statique. Le logiciel est fourni avec plusieurs exemples d'applications.

Dans les techniques physiques, les outils disponibles permettent de nombreuses applications. En électronique, il est par exemple possible de modéliser et d'analyser en détail le fonctionnement d'un amplificateur opérationnel, d'une boucle à verrouillage de phase, d'un contrôle de gain automatique, etc. En télécommunications, on peut faire de l'analyse spectrale de divers types de signaux. En techniques d'asservissement, on peut modéliser des contrôleurs (PID, logique floue, etc.), des procédés, des capteurs et des actionneurs, puis utiliser les techniques d'optimisation pour obtenir le meilleur contrôle possible. Là aussi on retrouve plusieurs exemples d'applications distribués avec le logiciel.


Conclusion

Le diagramme fonctionnel, conçu d'abord pour modéliser des procédés avec asservissement, peut aussi s'appliquer dans tous les domaines où l'on doit représenter des phénomènes ou des problèmes par des équations mathématiques. Il permet souvent d'abolir les grosses formules et de les remplacer par des fonctions de base plus simples placées dans des modules séparés et reliées par des liens visibles. Une fois le système correctement synthétisé ou modélisé, on peut l'analyser et le solutionner avec des outils qu'on trouve rarement réunis dans un même logiciel.

Le logiciel SERVO est disponible sur le cédérom « 101 logiciels éducatifs » distribué par le CCDMD. Il contient de nombreux exemples et une aide en ligne très détaillée pour aider l'éventuel utilisateur à se familiariser avec toutes ses possibilités. On peut aussi télédécharger la documentation du logiciel à partir du site Internet du CCDMD.

Creative Commons License Cette création est mise à disposition sous un contrat Creative Commons. Dernières mises à jour : 10/04/2015